分析:(1)因?yàn)閷?duì)角線互相垂直的四邊形ABCD面積
S=,由于|AC|=d為定長(zhǎng),當(dāng)|BD|最大時(shí),四邊形ABCD面積S取得最大值.由圓的性質(zhì),垂直于AC的弦中,直徑最長(zhǎng),由此能求出四邊形ABCD面積的最大值.
(2)由題意,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與圓心M重合時(shí),對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)同時(shí)取得最大值|AC|=|BD|=2r,由此能求出四邊形ABCD面積S取得最大值,最大值為2r
2.
(3)類比猜想1:若對(duì)角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形ABCD中的一條對(duì)角線長(zhǎng)確定時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)另一條對(duì)角線通過(guò)橢圓中心時(shí),該橢圓內(nèi)接四邊形面積最大;類比猜想2:當(dāng)點(diǎn)P在橢圓中心時(shí),對(duì)角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積最大;以上兩個(gè)均為正確的猜想,要證明以上兩個(gè)猜想,都需先證:橢圓內(nèi)的平行弦中,過(guò)橢圓中心的弦長(zhǎng)最大.類比猜想3:當(dāng)點(diǎn)P•在橢圓中心,且橢圓內(nèi)接四邊形的兩條互相垂直的對(duì)角線恰為橢圓長(zhǎng)軸和短軸時(shí),四邊形面積取得最大值2ab.要證明此猜想,也需先證“橢圓內(nèi)的平行弦中,過(guò)橢圓中心的弦長(zhǎng)最大.”
解答:解:(1)因?yàn)閷?duì)角線互相垂直的四邊形ABCD面積
S=,
而由于|AC|=d為定長(zhǎng),
則當(dāng)|BD|最大時(shí),四邊形ABCD面積S取得最大值.由圓的性質(zhì),垂直于AC的弦中,直徑最長(zhǎng),
故當(dāng)且僅當(dāng)BD過(guò)圓心M時(shí),四邊形ABCD面積S取得最大值,最大值為dr.
(2)由題意,不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與圓心M重合時(shí),對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)同時(shí)取得最大值|AC|=|BD|=2r,
所以此時(shí)四邊形ABCD面積S取得最大值,最大值為2r
2.
(3)類比猜想1:若對(duì)角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形ABCD中的一條對(duì)角線長(zhǎng)確定時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)另一條對(duì)角線通過(guò)橢圓中心時(shí),該橢圓內(nèi)接四邊形面積最大.
類比猜想2:當(dāng)點(diǎn)P在橢圓中心時(shí),對(duì)角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積最大.
以上兩個(gè)均為正確的猜想,要證明以上兩個(gè)猜想,都需先證:橢圓內(nèi)的平行弦中,過(guò)橢圓中心的弦長(zhǎng)最大.
證:設(shè)橢圓的方程為
+=1(a>b>0),平行弦MN的方程為y=kx+m,
聯(lián)立可得b
2x
2+a
2(kx+m)
2-a
2b
2=0?(b
2+a
2k
2)x
2+2kma
2x+m
2a
2-a
2b
2=0
不妨設(shè)M(x
1,y
1)、N(x
2,y
2),
則
|MN|=|x1-x2|=
•=
• | 4k2m2a4-4(m2a2-a2b2)(b2+a2k2) |
=
•由于平行弦的斜率k保持不變,故可知當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí),即當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí),
|MN|取得最大值
|MN|=2ab(*).特別地,當(dāng)斜率不存在時(shí),此結(jié)論也成立.
由以上結(jié)論可知,類比猜想一正確.又對(duì)于橢圓內(nèi)任意一點(diǎn)P構(gòu)造的對(duì)角線互相垂直的橢圓內(nèi)接四邊形,我們都可以將對(duì)角線平移到交點(diǎn)與橢圓中心O重合的橢圓內(nèi)接四邊形A
1B
1C
1D
1,而其中|AC|≤|A
1C
1|,|BD|≤|B
1D
1|,
所以必有
SABCD≤SA1B1C1D1.即證明了猜想二也是正確的.
類比猜想3:當(dāng)點(diǎn)P•在橢圓中心,且橢圓內(nèi)接四邊形的兩條互相垂直的對(duì)角線恰為橢圓長(zhǎng)軸和短軸時(shí),四邊形面積取得最大值2ab.
要證明此猜想,也需先證“橢圓內(nèi)的平行弦中,過(guò)橢圓中心的弦長(zhǎng)最大.”在此基礎(chǔ)上,可參考以下兩種續(xù)證方法.
證法一:當(dāng)點(diǎn)P在橢圓中心時(shí),不妨設(shè)對(duì)角線AC所在直線的斜率為k.
(i)當(dāng)k=0時(shí),AC即為橢圓長(zhǎng)軸,又AC⊥BD,故BD是橢圓的短軸.
所以此時(shí)橢圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積為S
ABCD=2ab.
(ii)當(dāng)k≠0時(shí),對(duì)角線BD的斜率為
-.由此前證明過(guò)程中的(*)可知,
|AC|=2ab,
若將
-代換式中的k,則可得弦BD的長(zhǎng)度,
|BD|=2ab=2ab.
所以,
SABCD=|AC||BD|=2a2b2=
2a2b2(k2+1) |
| [a2(k2+1)-(a2-b2)][b2(k2+1)+(a2-b2)] |
|
=
=
=
由k
2+1>1?
0<<1?
(-)2-∈[-,0),
則
SABCD=<=2ab,
綜上(i)和(ii),故可證明猜想三正確.
證法二:如圖,四邊形對(duì)角線交點(diǎn)P與橢圓中心重合.
由對(duì)稱性,不妨設(shè)橢圓上的點(diǎn)A的坐標(biāo)為(acosα,bsinα),
α∈[0,);
相鄰的點(diǎn)B坐標(biāo)為(acosβ,bsinβ),
β∈[,π).由對(duì)稱性可知,
SABCD=4S△APB=2| | 1 | 0 | 0 | 1 | acosα | bsinα | 1 | acosβ | bsinβ |
| |
|=2ab|sin(α-β)|且當(dāng)
β-α=時(shí),S
ABCD取得最大值2ab.
又因?yàn)镺A⊥OB,故
•=a2cosαcosβ+b2sinαsinβ=0.
由
β-α=?β=α+,
所以
•=-a2cosαsinα+b2sinαcosα=sin2α(b2-a2)=0故只有當(dāng)sin2α=0時(shí)才滿足,
而因?yàn)?span id="iosaes2" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">α∈[0,
),
故只有當(dāng)α=0時(shí)成立.即由橢圓參數(shù)方程的定義,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B分別落在橢圓長(zhǎng)軸和短軸頂點(diǎn)上時(shí),猜想3正確.