(文)已知函數(shù)f(x)=ax3-bx2+9x+2,若f(x)在x=1處的切線方程是3x+y-6=0.
(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)若對于任意的x∈[
14
,2]
,都有f(x)≥t2-2t-1成立,求函數(shù)g(t)=t2+t-2的最小值及最大值.
分析:(1)易求切點坐標(1,3),由題意可得f(1)=3,f′(1)=-3,從而可得關(guān)于a,b的方程組,解出可得f(x)解析式,然后解不等式f′(x)>0,f′(x)<0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對于任意的x∈[
1
4
,2]
,都有f(x)≥t2-2t-1成立,等價于f(x)mint2-2t-1,從而可求t的范圍,在該范圍內(nèi),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求g(t)的最大值、最小值;
解答:解:(1)切點坐標為(1,3),
f′(x)=3ax2-2bx+9,
由題意可得
f(1)=a-b+9+2=3
f′(1)=3a-2b+9=-3
,即
a-b+8=0
3a-2b+12=0
,
解得a=4,b=12,
所以f(x)=4x3-12x2+9x+2,
f′(x)=12x2-24x+9,
令f′(x)>0,得x<
1
2
或x>
3
2
,令f′(x)<0,得
1
2
<x<
3
2
,
所以f(x)的增區(qū)間為(-∞,
1
2
)和(
3
2
,+∞
),減區(qū)間為(
1
2
,
3
2
);
(2)由(1)知,f(x)在[
1
4
,
1
2
]上遞增,在[
1
2
,
3
2
]上遞減,在[
3
2
,2
]遞增,
且f(
1
4
)=
57
16
,f(
3
2
)=2,f(
1
4
)>f(
3
2
),
所以f(x)在[
1
4
,2]上的最小值為2,
由f(x)≥t2-2t-1在[
1
4
,2]上恒成立,得2≥t2-2t-1,即)t2-2t-3≤0,解得-1≤t≤3,
g(t)=t2+t-2=(t+
1
2
)2-
9
4
,
當t=-
1
2
時,g(t)min=-
9
4
,當t=3時,g(t)max=10.
點評:本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查轉(zhuǎn)化思想,考查學生解決問題的能力.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)(文)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P(-1,1).
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)若x>0時,不等式f(x)≥mx2-2x+2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

(理) 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面邊長AB=2,側(cè)棱BB1的長為4,過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E,交線段B1C于點F.以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D-xyz,如圖.
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(Ⅱ)求A1B與平面BDE所成角的正弦值的大。

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(II)若b∈[-2,2]時,函數(shù)h(x)=
1
3
x3lnx-
1
9
x3-(2a+b)x
,在(1,2)上為單調(diào)遞減函數(shù).求實數(shù)a的范圍.

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(文)已知函數(shù)f(x)=x3-x.
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(II)設(shè)常數(shù)a>0,如果過點P(a,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求m的取值范圍.

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(文)已知函數(shù)f(x)=2sinx+3tanx.項數(shù)為27的等差數(shù)列{an}滿足an∈(-
π
2
,
π
2
)
,且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,則當k值為
13
13
時有f(ak)=0.

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