Question

已知函數(shù)g（x）=x³-3ax²-3t²+t（t＞0）
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）曲線y=g（x）在點M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）處的切線都與y軸垂直，若方程g（x）=0在區(qū)間[a，b]上有解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分別得x的取值范圍，即為f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由曲線y=g（x）在點M和N處的切線都與y軸垂直，知g′（a）=g′（b）=0，得a，b，又方程g（x）=0在區(qū)間[a，b]上有解，知曲線g（x）在區(qū)間[0，2t]上與x軸相交，由（1）知g（x）在[0，2t]上單調(diào)，可得g（0）g（2t）≤0，解不等式得實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）由g'（x）=3x²-6tx＞0和g′（x）=3x²-6tx＜0（t＞0）
知g（x）在（-∞，0）和（2t，+∞）上是增函數(shù)，
g（x）在（0，2t）上是減函數(shù)
即g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（2t，+∞），
g（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2t）．（6分）
（2）由曲線y=g（x）在點M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）處的切線都與y軸垂直知，
g′（a）=g′（b）=0，又a＜b，所以a=0，b=2t，
若方程g（x）=0在區(qū)間[a，b]上有解，即曲線g（x）在區(qū)間[0，2t]上與x軸相交，
又g（x）在[0，2t]上單調(diào)，所以g（0）g（2t）≤0，
即t²（3t-1）（4t²+3t-1）≤0，
得t∈[

1

4

，

1

3

]．（12分）

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值、導數(shù)幾何意義等知識點；注意把方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，可使問題直觀易懂．