Question

某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=25

3

米，為了便于居民平時(shí)休閑散步，該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路OE、EF和OF，考慮到小區(qū)整體規(guī)劃，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且∠EOF=90°，如圖所示．
（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長(zhǎng)l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為400元，試問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用．

Answer 1

分析：（1）要將△OEF的周長(zhǎng)l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，需把△OEF的三邊分別用含有α的關(guān)系式來(lái)表示，而OE，
OF，分別可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，從而可求．
（2）要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求△OEF的周長(zhǎng)l的最小值即可．由（1）得，l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

，α∈[

π

6

，

π

3

]
利用換元，設(shè)sinα+cosα=t，則sinα•cosα=

t2-1

2

，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．

解答：解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=

25

cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=

25

sinα

．
又∠EOF=90°，
∴EF═

OE2+OF2

=

( 25 cosα )2+( 25 sinα )2

=

25

cosαsinα

，
∴l=OE+OF+EF=

25

cosα

+

25

sinα

+

25

cosαsinα

即l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

．
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D時(shí)，這時(shí)角α最小，求得此時(shí)α=

π

6

；
當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角α最大，求得此時(shí)α=

π

3

．
故此函數(shù)的定義域?yàn)?span id="ucyyqiq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[

π

6

，

π

3

]
（2）由題意知，要求鋪路總費(fèi)用最低，只要求△OEF的周長(zhǎng)l的最小值即可．
由（1）得，l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

，α∈[

π

6

，

π

3

]
設(shè)sinα+cosα=t，則sinα•cosα=

t2-1

2

，
∴l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

=

25(t+1)

t2-1 2

=

50

t-1

由t=sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)，又

5π

12

≤α+

π

4

≤

7π

12

，得

3 +1

2

≤t≤

2

，
∴

3 -1

2

≤t-1≤

2

-1，
從而

2

+1≤

1

t-1

≤

3

+1，當(dāng)α=

π

4

，即BE=25時(shí)，lmin=50(

2

+1)，
所以當(dāng)BE=AF=25米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為20000(

2

+1)元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了借助于三角函數(shù)解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，及推理運(yùn)算的能力．