我們知道：圓的任意一弦（非直徑）的中點(diǎn)和圓心的連線與該弦垂直；那么，若橢圓的一弦（非過原點(diǎn)的弦）中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線及弦所在直線的斜率均存在，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)予以證明．

 

【答案】

猜測(cè)兩直線斜率之積為或；

【解析】試題分析：假若在圓中，弦的斜率與弦的中點(diǎn)和圓心連線的斜率都存在，

由于兩線垂直，我們知道斜率之積為；

對(duì)于方程，若，

則方程即為圓的方程，由此可以猜測(cè)兩斜率之積為或；

證明：設(shè)橢圓的一條非過原點(diǎn)的弦為，其兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

中點(diǎn)為，則

，即兩斜率之積為．

考點(diǎn)：類比推理、點(diǎn)差法解決橢圓與直線的中點(diǎn)弦問題。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圓是長(zhǎng)軸和短軸相等的橢圓，在圓中兩線斜率之積為，猜測(cè)在橢圓中兩斜率之積為或，然后證明，證明時(shí)注意點(diǎn)差法的應(yīng)用。

 

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（1）求證：M點(diǎn)的軌跡是拋物線，并求出其方程；
（2）我們知道：“過圓上任意一點(diǎn)P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過圓心”（定點(diǎn)）．受此啟發(fā)，研究下面問題：
對(duì)于拋物線y2=2px（p＞0）上某一定點(diǎn)P（非頂點(diǎn)），過P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？

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已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（1）求證：M點(diǎn)的軌跡是拋物線，并求出其方程；
（2）我們知道：“過圓上任意一點(diǎn)P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過圓心”（定點(diǎn)）．受此啟發(fā)，研究下面問題：
對(duì)于拋物線y2=2px（p＞0）上某一定點(diǎn)P（非頂點(diǎn)），過P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？

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