Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，橢圓F以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D．
（I）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)E滿足，是否存在斜率k≠0的直線l與橢圓F交于MN兩點(diǎn)，且|ME|=|NE|，若存在，求K的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)點(diǎn)D在橢圓上，以及c=1，求出 a、b值，即得橢圓F的方程．
（Ⅱ）點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程代入橢圓的方程，則可得判別式大于0，即4k²-m²+3＞0．由PE⊥MN，斜率之積等于-1，求得m、k間的關(guān)系，代入4k²-m²+3＞0 可解得k取值范圍．
解答：解：（I）以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖
則A（-1，0），B（1，0），D．
設(shè)橢圓F的方程為，
由 得4a⁴-17a²+4=0，∵a²＞1，
∴a²=4，b²=3． 所求橢圓F方程．
（Ⅱ）由得 ．
顯然l⊥AB時(shí)不合條件，設(shè)l方程y=kx+m（k≠0）代入，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
l與橢圓F有兩不同公共點(diǎn)的充要條件是△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即4k²-m²+3＞0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中點(diǎn)為P（x，y），|ME|=|NE|等價(jià)于PE⊥MN，
∵，∴，．
PE⊥MN，得，得，得m=．
代入△＞0得 ，∵0＜4k²+3＜4 得 ．
又∵k≠0，故k取值范圍為k∈．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，式子的化簡(jiǎn)變形是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．