Question

11．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點，M為AH中點，PA=AC=2，BC=1．
（Ⅰ）求證：AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PM與平面AHB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件可以得到BC⊥平面PAC，從而得到AH⊥BC，而根據(jù)PA=AC，H為PC的中點可以得到AH⊥PC，這樣根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）可作AD∥BC，這樣便可以AD，AC，AP三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，然后可求出圖形上一些點的坐標，從而求出向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AH}，\overrightarrow{PM}$的坐標．可設平面AHB的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，而根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$便可得出平面AHB的一個法向量，可設PM與平面AHB所成角為θ，而由$sinθ=|cos＜\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{m}＞|=\frac{|\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{PM}||\overrightarrow{m}|}$即可求出sinθ．

解答 解：（Ⅰ）證明：PA⊥底面ABC，BC?平面ABC；
∴PA⊥BC，即BC⊥PA；
又BC⊥AC，AC∩PA=A；
∴BC⊥平面PAC，AH?平面PAC；
∴BC⊥AH，即AH⊥BC；
PA=AC，H為PC的中點；
∴AH⊥PC，PC∩BC=C；
∴AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）過A作AD∥BC，根據(jù)題意知，AD，AC，AP三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則：

A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），H（0，1，1），$M（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$\overrightarrow{AB}=（1，2，0），\overrightarrow{AH}=（0，1，1），\overrightarrow{PM}=（0，\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}）$；
設平面AHB的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{m}=y+z=0}\end{array}\right.$；
取y=1，則x=-2，z=-1，∴$\overrightarrow{m}=（-2，1，-1）$；
設PM與平面AHB所成角為θ，則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{10}{4}}•\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}$；
∴PM與平面AHB所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

點評 考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，等腰三角形的中線也是高線，通過建立空間直角坐標系，利用空間向量解決線面角問題的方法，平面法向量的概念及求法，能求空間點的坐標，向量夾角余弦的坐標公式，清楚直線和平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系．