Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=a（a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，設(shè)b_n=s_n-3ⁿ，n∈N⁺．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N⁺，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）若一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為A_n，若A_n可以寫出t^p（t，p∈N⁺且t＞1，p＞1）的形式，則稱A_n為“指數(shù)型和”．
當(dāng)a=4時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列{e_n}，其中e_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{_{n}，n≥2}\end{array}$，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和為C_n．，問{C_n}中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a（a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+3^n-1，可得：${a}_{n+1}-2•{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2•{3}^{n-1}）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=2×3^n-1+（a-2）•2^n-1，進(jìn)而得出b_n=s_n-3ⁿ=（a-2）•2ⁿ，即可證明．
（2）由a_n+1≥a_n，代入通項(xiàng)公式化為：a＞2-4×$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
（3）由（1）可得：e_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{_{n}，n≥2}\end{array}$=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 證明：（1）∵a₁=a（a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+3^n-1，可得：a_n+1-a_n=a_n+2×3^n-1，
變形為：${a}_{n+1}-2•{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2•{3}^{n-1}）$，
a₁-2=a-2≠0，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}-2•{3}^{n-1}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a-2，公比為2．
∴a_n-2×3^n-1=（a-2）•2^n-1，a_n=2×3^n-1+（a-2）•2^n-1，
∴S_n=a_n+1-3ⁿ=2×3ⁿ+（a-2）•2ⁿ-3ⁿ=（a-2）•2ⁿ+3ⁿ，
∴b_n=s_n-3ⁿ=（a-2）•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2a-4，公比為2．
解：（2）a_n+1≥a_n，
∴2×3ⁿ+（a-2）•2ⁿ＞2×3^n-1+（a-2）•2^n-1，化為：a＞2-4×$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
∵數(shù)列$\{-4×（\frac{3}{2}）^{n-1}\}$單調(diào)遞減，
∴n=1時(shí)，取得最大值-4，
∴a＞-2，且a≠2．
解：（3）由（1）可得：e_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{_{n}，n≥2}\end{array}$=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．
n=1時(shí)，C₁=3．
n≥2時(shí)，C_n=3+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-1．
∴{C_n}中的項(xiàng)不存在“指數(shù)型和”．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．