Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f(x)=log

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(x+1)．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）若f（a-1）-f（3-a）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)解析式和奇偶性，求得f（0）和f（1）的值．
（2）令x＜0，則-x＞0，從而有f(-x)=log

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(-x+1)=f(x)得到x＜0時(shí)的解析式．最后兩段寫(xiě)成分段函數(shù)的形式．
（3）易知f(x)=log

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(x+1)在[0，+∞）上為減函數(shù)，將“f（a-1）＜f（3-a）”轉(zhuǎn)化為f（|a-1|）＞f（|3-a|）利用在（0，+∞）上的單調(diào)性求解．

解答：解：（1）f（0）=0（2分）f（-1）=f（1）=-（14分）
（2）令x＜0，則-x＞0f(-x)=log

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(-x+1)=f(x)
∴x＜0時(shí)，f(x)=log

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(-x+1)（8分）
∴f(x)=

log 1 2 (x+1)，(x≥0) log 1 2 (-x+1)，(x＜0)

（10分）
（3）∵f(x)=log

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(x+1)在[0，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．
由于f（a-1）＜f（3-a）
∴|a-1|＞|3-a|（14分）
∴a＞2．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用，還考查了分段函數(shù)求解析式以及轉(zhuǎn)化思想．