Question

如圖，邊長為3（百米）的正方形ABCD是一個觀光區(qū)的平面示意圖，中間葉形陰影部分MN是一片人工湖，它的左下方邊緣曲線段MN為函數(shù)的圖象．為了便于游客觀光，擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條穿越該區(qū)域的直路l（寬度不計），其與人工湖左下方曲線段MN相切（切點記為P），并把該區(qū)域分為兩部分．現(xiàn)直路l左下部分區(qū)域規(guī)劃為花圃，記點P到邊AD距離為t，f（t）表示花圃的面積．
（1）求直路l所在的直線與兩坐標軸的交點坐標；
（2）求面積f（t）的解析式；
（3）請你制定一個鋪設(shè)方案，使得花圃面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定過點P的切線方程，即可求得直線與兩坐標軸的交點坐標；
（2）分類討論：①當，即時，切線左下方的區(qū)域為一直角三角形；②當，即時，切線左下方的區(qū)域為一直角梯形；③當，即時，切線左下方的區(qū)域為一直角梯形，從而可得面積f（t）的解析式；
（3）求出分段函數(shù)的最值，即可得到花圃面積最大值．
解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得
∴過點P的切線方程為，即
令x=0可得y=，令y=0可得x=2t
∴切線與x軸交點坐標為（2t，0），與y軸交點坐標為（0，）
（2）①當，即時，切線左下方的區(qū)域為一直角三角形
∴f（t）==4；
②當，即時，切線左下方的區(qū)域為一直角梯形
∴f（t）==；
③當，即時，切線左下方的區(qū)域為一直角梯形
∴f（t）==；
綜上，f（t）=；
（3）當時，f（t）==-；
當時，f（t）==；
當時，f（t）=4是常數(shù)；
綜上，當時，花圃面積最大，最大值為4．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)解析式的確定，考查分段函數(shù)的最值，正確分類是關(guān)鍵．