設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項之和Sn滿足Sn=
1
2
(an+
n
an
)(n∈N*)
（1）求Sn；
（2）證明：
1
S
2
1
+
1
S
2
2
+…+
1
S
2
n
＜2．
分析：（1）當(dāng)n≥2時，利用an=Sn-Sn-1，可得Sn2-Sn-12=n，再用疊加法，即可得到結(jié)論；
（2）利用裂項法，再用放縮法，可得結(jié)論．
解答：（1）解：當(dāng)n=1時，S1=
1
2
(a1+
1
a1
)，
∵a1＞0，∴a1=1；
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1，∴Sn=
1
2
(Sn-Sn-1+
n
Sn-Sn-1
)，
∴Sn2-Sn-12=n
∴Sn2=（Sn2-Sn-12）+（Sn-12-Sn-22）+…+（S22-S12）+S12=n+（n-1）+…+2+1=
n(n+1)
2

∵an＞0，Sn＞0，∴Sn=
n(n+1)
2
；
（2）證明：∵
1
Sn2
=
2
n(n+1)
=2（
1
n
-
1
n+1
）
∴
1
S
2
1
+
1
S
2
2
+…+
1
S
2
n
=2[（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+…+（
1
n
-
1
n+1
）]=2（1-
1
n+1
）＜2．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查疊加法、裂項法的運(yùn)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(
x
+
2
)2(x＞0)，設(shè)正項數(shù)列an的首項a1=2，前n 項和Sn滿足Sn=f（Sn-1）（n＞1，且n∈N*）．
（1）求an的表達(dá)式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線ln的斜率為an，且ln與曲線y=x2相切，ln又與y軸交于點Dn（0，bn），當(dāng)n∈N*時，記dn=
1
4
|
Dn+1Dn
|-1，若Cn=
d
2
n+1
+
d
2
n
2dn+1dn
，求數(shù)列cn的前n 項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正項數(shù)列{an}的前項和是Sn，若{an}和{
Sn
}都是等差數(shù)列，且公差相等，求：
（1）{an}的通項公式；
（2）若a1，a2，a5恰為等比數(shù)列{bn}的前三項，記數(shù)列cn=cn=
24bn
(12bn-1)2
，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求證：對任意n∈N*，都有Tn＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正項數(shù)列{an}的前項和為Sn，q為非零常數(shù)．已知對任意正整數(shù)n，m，當(dāng)n＞m時，Sn-Sm=qm•Sn-m總成立．
（1）求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列； 
（2）若正整數(shù)n，m，k成等差數(shù)列，求證：
1
Sn
+
1
Sk
≥
2
Sm
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=
2an2+3an+m
an+1
(n∈N*)，①若恒有an+1≥an，求m的取值范圍．②在-3≤m＜1時，證明：
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
an+1
≥1-
1
2n

（2）設(shè)正項數(shù)列{an}的通項an滿足條件：（an）n+nan-1=0（n∈N*），求證：0＜an≤
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=
1
4
an2+
1
2
an-
3
4
，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）是否存在等比數(shù)列{bn}，使a1b1+a2b2+…anbn=（2n-1）•2n+1+2對一切正整數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論．

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