研究函數(shù)f(x)=(
1
2
)x+(
2
3
)x+(
5
6
)x的單調(diào)性，并求解方程：3x+4x+5x=6x．
分析：由y=(
1
2
)x、y=(
2
3
)x、y=(
5
6
)x 都是減函數(shù)可得f(x)=(
1
2
)x+(
2
3
)x+(
5
6
)x是減函數(shù)，令 y（x）=3x+4x+5x-6x，由y（x）的導(dǎo)數(shù)大于0知，y（x）是一個增函數(shù)，y（2）＞0，y（4）＜0，y（3）=0，可得答案．
解答：解：∵0＜
1
2
＜1，0＜
2
3
＜1，0＜
5
6
＜1，
∴y=(
1
2
)x、y=(
2
3
)x、y=(
5
6
)x 都是減函數(shù)，故 f(x)=(
1
2
)x+(
2
3
)x+(
5
6
)x在其定義域
內(nèi)是減函數(shù)．
∵x=3時，3x+4x+5x=216，63=216，令 y（x）=3x+4x+5x-6x，
由y（x）的導(dǎo)數(shù)大于0知，y（x）是一個增函數(shù)，y（2）=50-36＞0，y（4）=962-1296＜0，
 故 3x+4x+5x=6x  的解是 x=3．
點評：本題考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和特殊點，幾個單調(diào)減函數(shù)的和還是減函數(shù)，指數(shù)方程的解法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=
x|x|+1
（x∈R）時，分別給出下面幾個結(jié)論：
（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
（3）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（4）函數(shù)g（x）=f（x）-b（b為常數(shù)，b∈R）必有一個零點．
其中正確結(jié)論的序號為
 
．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)為研究函數(shù)f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)0＜x＜1）的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的值域是
[
2
+1，
5
]
[
2
+1，
5
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

研究函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)的性質(zhì)，分別給出下面結(jié)論（　�。�
①若x1=-x2，則一定有f（x1）=-f（x2）；
②函數(shù)f（x）在定義域上是減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
④若規(guī)定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，則fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立，
其中正確的結(jié)論有（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
（x∈R）時，給出了下面幾個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），則恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
④若規(guī)定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，則fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立，
上述結(jié)論中所有正確的結(jié)論是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=
2x|x|+1
(x∈R)時，分別得出如下幾個結(jié)論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數(shù)f（x）的值域為（-2，2）；
③若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
④函數(shù)y（x）=f（x）-2x在R上有三個零點．
其中正確的序號有
①②③
①②③
．

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