Question

2．如圖，在△ABC中，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow$，已知點P，Q分別為線段CA，CB（不含端點）上的動點，PQ與CG交于H，且H為線段CG中點，若$\overrightarrow{CP}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CQ}$=n$\overrightarrow$，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由重心的性質(zhì)及線性運算，用$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，表示$\overrightarrow{CH}$，$\overrightarrow{CH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CG}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{m}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{n}\overrightarrow{CB}）=\frac{1}{6m}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{6n}\overrightarrow{CB}$，由$\frac{1}{6m}+\frac{1}{6n}=1$⇒$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=6$．

解答 解：在△ABC中，∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，∴點G是△ABC的重心，由重心的性質(zhì)可得$\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB）}$
又∵$\overrightarrow{CH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CG}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{m}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{n}\overrightarrow{CB}）=\frac{1}{6m}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{6n}\overrightarrow{CB}$，
∵三點P，Q，H共線，∴$\frac{1}{6m}+\frac{1}{6n}=1$⇒$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=6$，
故選：C

點評 考查向量線性運算，共線向量基本定理，重心的性質(zhì)，向量數(shù)乘的幾何意義，屬于中檔題．