Question

某市環(huán)保局為貫徹十七大報(bào)告提出加大保護(hù)環(huán)境力度方針．調(diào)查了該市水泥廠(chǎng)的污染情況，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，水泥廠(chǎng)的煙囪向其他周?chē)�地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染．已知A，B兩座水泥廠(chǎng)煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵是A煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測(cè)表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比（比例系數(shù)均為k）．若C是AB連線(xiàn)上的點(diǎn)，設(shè)AC=x km，C點(diǎn)的煙塵濃度記為y．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)B處煙塵量為1，則A處煙塵量為8，根據(jù)煙塵濃度與到煙囪距離的關(guān)系可求得A、B在C處的煙塵濃度，然后兩者相加可得y關(guān)于x的函數(shù)．
（2）對(duì)（1）中函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于0求x的值，然后判斷原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求得最小值．

解答：解：（1）不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，
由AC=x（0＜x＜20），可得BC=20-x．           …（2分）
C處的煙塵濃度y的函數(shù)表達(dá)式為y=

k

x2

+

k•8

(20-x)2

(0＜x＜20)．…（4分）
（2）對(duì)（1）中的函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)得y′=-

2k

x3

+

16k

(20-x)3

=

2k(9x3-60x2+1200x-8000)

x3(20-x)3

…（8分）
令y′=0，得（3x-20）（3x²+400）=0，
∵0＜x＜20，
∴x=

20

3

…（11分）
∵當(dāng)x∈(0，

20

3

)時(shí)y′＜0，當(dāng)x∈(

20

3

，20)時(shí)y′＞0，
∴當(dāng)x=

20

3

時(shí)，y有最小值．   …（12分）
故存在點(diǎn)C，當(dāng)AC=

20

3

km時(shí)，該點(diǎn)的煙塵濃度最低．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以環(huán)保為素材，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的問(wèn)題．屬中檔題．題．