Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，沿對角線BD把△BCD折起到△BPD位置，且P在面ABC內(nèi)的射影O恰好落在AB上
（1）求證：AP⊥BP；
（2）求AB與平面BPD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中，矩形ABCD沿對角線BD把△BCD折起到△BPD位置，且P在面ABC內(nèi)的射影O恰好落在AB上，易得PO⊥面ABD，進而由面面垂直的性質得到AD⊥面ABP，則AD⊥BP，又由BP⊥PD，結合線面垂直的判定定理可得BP⊥面APD，進而由線面垂直的性質得到AP⊥BP；
（2）作AH⊥PD于H，則AH⊥面BPD，連BH，則BH為AB在面BPD上的射影，我們易得∴∠ABH為AB與面BPD所成的角．解三角形ABH即可得到答案．

解答：證明：（I）由題意知，PO⊥面ABD，
∵PO?ABP，
∴面ABP⊥面ABD，
又∵AD⊥AB，面ABP∩面ABD=AB，
∴AD⊥面ABP，
∴AD⊥BP，
∵BP⊥PD
∴BP⊥面APD，
∴BP⊥AP，
（II）∵BP⊥APD，BP?面BPD，
∴面APD⊥面BPD．

作AH⊥PD于H，則AH⊥面BPD，連BH， 則BH為AB在面BPD上的射影，

∴∠ABH為AB與面BPD所成的角．
又在Rt△APD中，C′D=3

3

，AD=3，
∴AP=3

2

，∴AH=

6

∴sin∠ABH=

AH

AB

=

2

3

，
即AB與平面BPD所成角的正弦值為

2

3

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，直線與平面所成的角，求二面角是找出二面角的平面角是解答的關鍵．