Question

【題目】北京時(shí)間3月10日，CBA半決賽開(kāi)打，采用7局4勝制（若某對(duì)取勝四場(chǎng)，則終止本次比賽，并獲得進(jìn)入決賽資格），采用2﹣3﹣2的賽程，遼寧男籃將與新疆男籃爭(zhēng)奪一個(gè)決賽名額，由于新疆隊(duì)常規(guī)賽占優(yōu)，決賽時(shí)擁有主場(chǎng)優(yōu)勢(shì)（新疆先兩個(gè)主場(chǎng)，然后三個(gè)客場(chǎng)，再兩個(gè)主場(chǎng)），以下是總決賽賽程：

日期	比賽隊(duì)	主場(chǎng)	客場(chǎng)	比賽時(shí)間	比賽地點(diǎn)
17年3月10日	新疆﹣遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊
17年3月12日	新疆﹣遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊
17年3月15日	遼寧﹣新疆	遼寧	新疆	20：00	本溪
17年3月17日	遼寧﹣新疆	遼寧	新疆	20：00	本溪
17年3月19日	遼寧﹣新疆	遼寧	新疆	20：00	本溪
17年3月22日	新疆﹣遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊
17年3月24日	新疆﹣遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊

（1）若考慮主場(chǎng)優(yōu)勢(shì)，每個(gè)隊(duì)主場(chǎng)獲勝的概率均為 ，客場(chǎng)取勝的概率均為 ，求遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝的概率；
（2）根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，每場(chǎng)比賽組織者可獲得門(mén)票收入50萬(wàn)元（與主客場(chǎng)無(wú)關(guān)），若不考慮主客場(chǎng)因素，每個(gè)隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為 ，設(shè)本次半決賽中（只考慮這兩支隊(duì)）組織者所獲得的門(mén)票收入為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)“遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝”為事件A，“第i場(chǎng)比賽取勝”記作事件Ai，由賽程表可知：

P（A1）=P（A2）= ，P（A3）=P（A4）=P（A5）= ．

則P（A）=P（ A2A3A4A5）+P（ A3A4A5）+P（A1A2 A4A5）+P（A1A2A3 A5）= + + + =

（2）解：X的所有可能取值為200，250，300，350

設(shè)“遼寧隊(duì)以4：0取勝”為事件A4，“四川隊(duì)以4：0取勝”為事件B4；

“遼寧隊(duì)以4：1取勝”為事件A5，“四川隊(duì)以4：1取勝”為事件B5；

“遼寧隊(duì)以4：2取勝”為事件A6，“四川隊(duì)以4：2取勝”為事件B6；

“遼寧隊(duì)以4：3取勝”為事件A7，“四川隊(duì)以4：3取勝”為事件B7；

則P（X=4）=P（A4）+P（B4）= = ．P（X=5）=P（A5）+P（B5）= = ．

P（X=6）=P（A6）+P（B6）= = ．

P（X=7）=P（A7）+P（B7）= × × = ．

∴X的分布列為：

X	200	250	300	350
P

E（X）=200× +250× +300× +350× =290.625

【解析】（1）設(shè)“遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝”為事件A，“第i場(chǎng)比賽取勝”記作事件Ai，由賽程表可知： P（A1）=P（A2）= ，P（A3）=P（A4）=P（A5）= ．利用P（A）=P（ A2A3A4A5）+P（ A3A4A5）+P（A1A2 A4A5）+P（A1A2A3 A5）即可得出．（2）X的所有可能取值為200，250，300，350．設(shè)“遼寧隊(duì)以4：0取勝”為事件A4 ， “四川隊(duì)以4：0取勝”為事件B4；“遼寧隊(duì)以4：1取勝”為事件A5 ， “四川隊(duì)以4：1取勝”為事件B5；“遼寧隊(duì)以4：2取勝”為事件A6 ， “四隊(duì)以4：2取勝”為事件B6；“遼寧隊(duì)以4：3取勝”為事件A7 ， “四川隊(duì)以4：3取勝”為事件B7；可得P（X=i）=P（Ai）+P（Bi）即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．