Question

16．已知函數(shù)f（x）=kx+m，當(dāng)x∈[a₁，b₁]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇a₂，b₂]，當(dāng)x∈[a₂，b₂]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇a₃，b₃]，依此類推，一般地，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇a_n，b_n]，其中k、m為常數(shù)，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若m=2，問是否存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列{b_n}滿足$\underset{lim}{n→∞}$b_n=4？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若k＜0，設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₄）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₄）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）遞增，可得值域，進(jìn)而得到a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n≥2），由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）由單調(diào)性求得f（x）的值域，m=2，則b_n=kb_n-1+2（n≥2），再由b_n+$\frac{2}{k-1}$=k（b_n-1+$\frac{2}{k-1}$）（n≥2），運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)論；
（3）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的值域，由作差，運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=x+m，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）為遞增函數(shù)，
所以其值域?yàn)閇a_n-1+m，b_n-1+m]，
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n≥2），
又a₁=0，b₁=1，則a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m；
（2）因?yàn)閒（x）=kx+m，（k＞0），當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）的值域?yàn)閇ka_n-1+m，kb_n-1+m]，
由m=2，則b_n=kb_n-1+2（n≥2）；
法一：假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列{b_n}，得4=4k+2，則k=$\frac{1}{2}$符合．
法二：假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列{b_n}滿足$\underset{lim}{n→∞}$b_n=4，當(dāng)k=1不符合．
當(dāng)k≠1時(shí)，b_n=kb_n-1+2，n≥2?b_n+$\frac{2}{k-1}$=k（b_n-1+$\frac{2}{k-1}$）（n≥2），
則b_n=（1+$\frac{2}{k-1}$）k^n-1-$\frac{2}{k-1}$，
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=$\frac{2}{1-k}$=4，解得k=$\frac{1}{2}$符合，
（3）因?yàn)閗＜0，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，f（x）為遞減函數(shù)，
所以f（x）的值域?yàn)閇kb_n-1+m，ka_n-1+m]，
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m，n≥2，
則b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1），
因此{(lán)b_n-a_n}是以-k為公比的等比數(shù)列，
又b₁-a₁=1則有T_i-S_i=$\left\{\begin{array}{l}{i，k=-1}\\{\frac{1-（-k）^{i}}{1+k}，k＜0，k≠-1}\end{array}\right.$，
進(jìn)而有（T₁+T₂+…+T₂₀₁₄）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₄）=$\left\{\begin{array}{l}{2029105，K=-1}\\{\frac{2014+2015k+{k}^{2015}}{（1+k）^{2}}，k＜0，k≠-1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差（比）數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查存在性問題的解法，注意無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．