Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，則T₉等于

9

40

．

Answer 1

分析：由題意易得a_n=2n（n∈N），進(jìn)而可得b_n=

1

anan+1

=

1

2n•(2n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），由裂項(xiàng)相消法可得結(jié)果．

解答：解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+n，
∴n=1時(shí)，a₁=2；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，
∴a_n=2n（n∈N^*），
∴b_n=

1

anan+1

=

1

2n•(2n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
T₉=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

9

-

1

10

）]
=

1

4

×（1-

1

10

）=

9

40

．
故答案為：

9

40

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，涉及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬基礎(chǔ)題．