Question

已知函數(shù)f（x）=-x（0＜x＜）；
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求極值；
（2）若x∈（0，]，求g（x）=的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）用求導(dǎo)法則，得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），采用換元法：設(shè)，討論f′（x）的單調(diào)性，得到導(dǎo)數(shù)f′（x）的最小值為正數(shù)，故函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，不存在極值；
（2）由（1）可知在區(qū)間上有f（x）＞f（0）=0，即f（x）＞0，根據(jù)這一結(jié)論變形可得sin³x＞x³cosx，從而證出，在區(qū)間（0，]上g（x）為單調(diào)增函數(shù)，從而函數(shù)g（x）的最大值為．
解答：解：（1）∵f′（x）=…（2分）
=
換元：設(shè)，x∈（0，），可得t∈（0，1），
∴f′（x）=
令h（t）=2t⁶-3t⁴+1，則h/（t）=12t⁵-12t³=12t3（t²-1）＜0在t∈（0，1）時(shí)恒成立
所以h（t）在（0，1）上為單調(diào)減函數(shù)，
∴
∵．…（8分）
（2）由（1）可知在區(qū)間上有f（x）＞f（0）=0，
即f（x）＞0；∴，
∴…（10分）
∵
∴單調(diào)遞增，
函數(shù)g（x）的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查方程根的討論，屬于中檔題．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．