已知常數(shù)a＞0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且==,P為GE與OF的交點(如圖).問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在,請說明理由.

 

剖析：根據(jù)題設條件首先求出P點坐標滿足的方程，據(jù)此可判斷是否存在兩點，使得點P到兩定點距離的和為定值.

解：按題意，有A(-2,0),B(2,0)，C(2,4a),D(-2,4a).

    設===k(0≤k≤1),由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).

    直線OF的方程為2ax+(2k-1)y=0.                   ①

    直線GE的方程為-a(2k-1)x+y-2a=0.              ②

    由①②消去參數(shù)k,得點P(x,y)滿足方程2a2x2+y2-2ay=0.

    整理得+=1.

    當a2=時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.

    當a2≠時，點P的軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長.

    當a2＜時，點P到橢圓兩個焦點(-,a),(,a)的距離之和為定值2.

    當a2＞時，點P到橢圓兩個焦點(0,a-),(0,a+)的距離之和為定值2a.

講評：本題主要考查根據(jù)已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.在解題過程中蘊涵著方程思想、分類討論思想和構(gòu)造法.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知常數(shù)m＞0，向量
a
=（0，1），向量
b
=（m，0），經(jīng)過點A（m，0），以λ
a
+
b
為方向向量的直線與經(jīng)過點B（-m，0），以λ
b
-4
a
為方向向量的直線交于點P，其中λ∈R．
（1）求點P的軌跡E；
（2）若m=2
5
，F(xiàn)（4，0），問是否存在實數(shù)k使得以Q（k，0）為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點，并且|MF|+|NF|=3
5
．若存在求出k的值；若不存在，試說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(本小題滿分13分)已知函數(shù)(x>0)在x = 1處

取得極值–3–c，其中a,b,c為常數(shù)。

（1）試確定a,b的值；

（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)(x>0)在x = 1處取得極值，其中a,b,c為常數(shù)。（1）試確定a,b的值；    （2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學卷（重慶） 題型：解答題

(本小題滿分13分)已知函數(shù)(x>0)在x = 1處取得極值–3–c，其中a,b,c為常數(shù)。

（1）試確定a,b的值；(6分)

（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(4分)

（3）若對任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范圍。(3分)

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案