已知點M是曲線C上任一點，點M到點F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點P（0，2）的直線L交曲線C于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，求直線L的方程．
（1）∵點M到點F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1，
∴點M到點F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
∴點M的軌跡是以F（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線，
∴曲線C的方程為：y2=4x．
（2）設直線l的方程為y=kx+2（k≠0），
A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y2=4x
y=kx+2
，消去x得：ky2-4y+8=0，
則△=16-32k＞0，解得k＜
1
2
，
∴y1y2=
8
k
，x1x2=
y12
4
•
y22
4
=
4
k2
，
∴以AB為直徑的圓過原點O，
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，
∴
4
k2
+
8
k
=0，解得k=-
1
2
，
∴直線l的方程為y=-
1
2
x+2．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知A（-2，0），B（2，0），P為平面內一動點，直線PA，PB的斜率之積為-
1
4
，記動點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若點D（0，2），點M，N是曲線C上的兩個動點，且
DM
=λ
DN
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的頂點在原點，焦點F與雙曲線x2-
y2
4
=1的右頂點重合．
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線l經(jīng)過焦點F，且傾斜角為60°，與拋物線交于A、B兩點，求：弦長|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過點C（4，0）的直線與雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的右支交于A、B兩點，則直線AB的斜率k的取值范圍是（　�。�
A．|k|≥1B．|k|＞
3
C．|k|≤
3
D．|k|＜1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點F1的坐標為（-1，0），已知橢圓E上的一點到F1、F2兩點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的右焦點F2作一條傾斜角為
π
4
的直線交橢圓于C、D，求△CDF1的面積；
（Ⅲ）設點P（4，t）（t≠0），A、B分別是橢圓的左、右頂點，若直線AP、BP分別與橢圓相交異于A、B的點M、N，求證∠MBP為銳角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知
a
=(2mx，y-1)，
b
=(2x，y+1)，其中m∈R，
a
⊥
b
，動點M（x，y）的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程，并說明該軌跡方程所表示曲線的形狀；
（2）當m=
1
8
時，設過定點P（0，2）的直線l與軌跡C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為
5
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標為-
1
2
，求斜率k的值；
②已知點M(-
7
3
，0)，求證：
MA
•
MB
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

直線x=ky+3與雙曲線
x2
9
-
y2
4
=1只有一個公共點，則k的值有（　�。�
A．1個B．2個C．3個D．無數(shù)多個

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，已知橢圓C上的點（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點，求弦長|PQ|．

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