Question

已知定點(diǎn)A（1，0）和定直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，滿足，動(dòng)點(diǎn)P滿足，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)B（0，2）的直線l與（1）中軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，若，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x，y），E（-1，y₁），F(xiàn)（-1，y₂）（y₁、y₂均不為0）
由得y₁=y，即E（-1，y）
由FO∥OP得，即F（-1，-）
∵，∴
∴（-2，y₁）•（2，y₂）=0
∴y₁y₂=-4，∴y²=4x（x≠0）
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）
（2）設(shè)直線l的方程y=kx+2（k≠0），M（），N（）
聯(lián)立得消去x得ky²-4y+8=0
∴，，且△=16-32k＞0即k＜．
∴=（）•（）=（）•（）+y₁y₂
==
∵，∴-12＜k＜0，滿足k＜，
∴-12＜k＜0．
分析：（1）用坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，利用即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及，利用數(shù)量積公式，即可求得直線l的斜率的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．