Question

若函數(shù)y=f（x）（x∈R₊）滿足：①?x∈R₊都有f（2x）=2f（x），②f（x）=1-|2x-3|（1≤x≤2）則
（1）f（2013）=______；
（2）方程f（x）=f（2013）的解的最小值為_(kāi)_____．

Answer 1

解：（1）f（2013）=2•f（）=4•f（）=…=1024•f（）
∵當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=1-|2x-3|
∴f（）=1-|2×-3|=
∴f（2013）=1024•=70
（2）∵f（x）=f（2013）
∴f（x）=70
若1≤x≤2，1-|2x-3|=70無(wú)解
若x＞2，不妨令n滿足1≤≤2，即2ⁿ≤x≤2ⁿ⁺¹•
∴f（x）=2ⁿ•f（）=2ⁿ（1-|2×-3|）=2ⁿ-|2x-3•2ⁿ|
令2ⁿ-|2x-3•2ⁿ|=70
若x取最小值，則2ⁿ≤2×70≤2ⁿ⁺¹•
則2ⁿ=128，
即128+70=|2x-3•128|
解得x=291（舍）或x=163
故答案為：163
分析：（1）由①?x∈R₊都有f（2x）=2f（x），②f（x）=1-|2x-3|（1≤x≤2）可得f（2013）=1024•f（），f（）=1-|2×-3|，代入可得答案．
（2）根據(jù)f（x）=f（2013）=70，根據(jù)f（x）=2ⁿ•f（）（其中n滿足1≤≤2，即2ⁿ≤x≤2ⁿ⁺¹），進(jìn)而可求出滿足條件的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的值，由于函數(shù)是抽象函數(shù)，故難度較大．