Question

設函數(shù)f（x）=x³+3x²+6x+14，且f（a）+f（b）=20，則a+b=________．

Answer 1

-2
分析：根據(jù)f（x）=x³+3x²+6x+14可將f（x）變形為f（x）=（x+1）³+3（x+1）+10然后根據(jù)f（a）+f（b）=20可得（a+1）²+3（a+1）+（b+1）²+3（b+1）=0注意到此方程的對稱性可構造函數(shù)F（x）=x³+3x則上式可變形為F（a+1）=-F（b+1）故需判斷出函數(shù)F（x）的奇偶性和單調(diào)性即可求解．
解答：∵f（x）=x³+3x²+6x+14
∴f（x）=（x+1）³+3（x+1）+10
∵f（a）+f（b）=20
∴（a+1）²+3（a+1）+（b+1）²+3（b+1）=0①
令F（x）=x³+3x，，
則F（-x）=-F（x）
∴F（x）為奇函數(shù)
∴①式可變?yōu)镕（a+1）=-F（b+1）
即F（a+1）=F（-b-1）
∵F（x）=x³+3x為單調(diào)遞增函數(shù)
∴a+1=-b-1
∴a+b=-2
故答案為-2
點評：本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性進行求值．解題的關鍵是先將函數(shù)f（x）=x³+3x²+6x+14變形為f（x）=（x+1）³+3（x+1）+10（這也是求解此題的突破點）然后利用所得到的式子①構造函數(shù)F（x）=x³+3x最后利用函數(shù)F（x）的單調(diào)性奇偶性即可求解！