Question

如圖，在軸上方有一段曲線弧，其端點(diǎn)、在軸上（但不屬于），對(duì)上任一點(diǎn)及點(diǎn)，，滿足：．直線，分別交直線于，兩點(diǎn)．

（1）求曲線弧的方程；

（2）求的最小值（用表示）；

（3）曲線上是否存點(diǎn)，使為正三角形？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

解：（1）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點(diǎn)的半橢圓，

.  ……………………………………………1分

∴的方程為.  ……………………………………………3分

（注：不寫區(qū)間“”扣1分）                              

（2）解法1：由（1）知，曲線的方程為，設(shè)，

      則有， 即  ……①    ………………………………4分

又，，從而直線的方程為

      AP：；   BP： ……………5分

     令得，的縱坐標(biāo)分別為

     ；      .

    ∴  ……②     ………………………………………7分

       將①代入②， 得 .

   ∴ .

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．

即的最小值是.   ……………………………………………9分

解法2：設(shè)，則由三點(diǎn)共線，得 ．．①

同理，由三點(diǎn)共線得： …②   …………………5分

由①×②得：.

由，代入上式，.

即 .   …………………………………………………………7分

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．

即的最小值是 .  ………………………………………………9分

（3）設(shè)，依題設(shè)，直線∥軸，若為正三角形，則必有

       ，…………………………………………………10分

從而直線的斜率存在，分別設(shè)為、，由（2）的解法1知，

      ；   ， ……………………………11分

     于是有 ， 而，矛盾.………………………13分

∴不存在點(diǎn)Ｐ，使為正三角形． ……………………………………………14分

注:如上各題若有其它解法，請(qǐng)?jiān)u卷老師酌情給分.