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12.已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓C1x2+y26x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn):若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)設(shè)當(dāng)直線l的方程為y=kx,通過(guò)聯(lián)立直線l與圓C1的方程,利用根的判別式大于0、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,計(jì)算即得結(jié)論;
(2)通過(guò)聯(lián)立直線L與圓C1的方程,利用根的判別式△=0及軌跡C的端點(diǎn)與點(diǎn)(4,0)決定的直線斜率,即得結(jié)論.

解答 解:(1)設(shè)M(x,y),
∵點(diǎn)M為弦AB中點(diǎn)即C1M⊥AB,
kC1MkAB=1yx3yx=1,
∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為x322+y2=9453x3
(2)由(1)知點(diǎn)M的軌跡是以C320為圓心r=32為半徑的部分圓弧EF(如圖所示,不包括兩端點(diǎn)),且E53253,F53253,又直線L:y=k(x-4)過(guò)定點(diǎn)D(4,0),
當(dāng)直線L與圓C相切時(shí),由|k3240|k2+12=32k=±34,又kDE=kDF=0253453=257
結(jié)合上圖可知當(dāng)k{3434}[257257]時(shí),直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查求軌跡方程、直線與曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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