Question

9．已知點(diǎn)T（-1，1）在拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線上．
（1）求該拋物線方程；
（2）若AB是拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，-3）的任一弦，點(diǎn)M是拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線AM，BM分別與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，求證：直線PQ的斜率為定值，并求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的準(zhǔn)線，由$\frac{p}{2}$=1，解得p，即可得到拋物線的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把AB方程代入拋物線的方程，利用判別式大于零求得m的范圍，再把MA的方程代入拋物線的方程，設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理以及斜率公式求得該弦的斜率為定值．根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)PQ的解析式，根據(jù)m的范圍，利用不等式的性質(zhì)求出|PQ|的取值范圍．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
即有$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
即有拋物線的方程為y²=4x；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB方程：m（y+3）=x，代入y²=4x，y²-4my-12m=0，
由△＞0，求得m＜-3或m＞0，y₃+y₄=4m，y₃•y₄=-12m．
由于點(diǎn)M（-1，0），直線AM：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得y²-4•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$y+4=0，
∴y₁y_P=4，y_P=$\frac{4}{{y}_{1}}$．
∴點(diǎn)P（$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$，$\frac{4}{{y}_{1}}$），Q（$\frac{4}{{{y}_{2}}^{2}}$，$\frac{4}{{y}_{2}}$），
k_PQ=$\frac{\frac{4}{{y}_{1}}-\frac{4}{{y}_{2}}}{\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}-\frac{4}{{{y}_{2}}^{2}}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{-12m}{4m}$=-3，為定值．
∵|PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•|y_P-y_Q|=$\frac{4\sqrt{10}}{9}$$\sqrt{1+\frac{3}{m}}$．
由m＜-3，或m＞0，可得|PQ|∈（0，$\frac{4\sqrt{10}}{9}$）∪（$\frac{4\sqrt{10}}{9}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，直線的斜率公式，不等式的基本性質(zhì)，屬于中檔題．