Question

【題目】已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前項和為，且為與的等差中項.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）設(shè)，求的前項和.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).

【解析】試題分析：

（1）由數(shù)列中與的關(guān)系及條件可得，從而可得結(jié)論成立．（2）由（1）得到，故得，然后再由與的關(guān)系可求得．（3）由（2）得，根據(jù)數(shù)列項的特點，選擇并項的方法求和，但需要對n進(jìn)行分類討論．

試題解析：

（1）由題意知，即，①

當(dāng)n≥2時，有an=Sn﹣Sn﹣1，代入①式得

，

整理得（n≥2）．

又當(dāng)n=1時，由①式可得S1=1；

∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．

（2） 由（1）可得，

∵數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)，

∴，

∴當(dāng)n≥2時，，

又滿足上式，

∴．

（3）由（2）得，

當(dāng)n為奇數(shù)時，

當(dāng)n為偶數(shù)時，

∴數(shù)列span>{bn}的前n項和．