Question

已知函數(shù)f(x)=4x3-3x2cosθ+

1

32

，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）當(dāng)cosθ=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）是否有極值；
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)（Ⅱ）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可判定是否有極值．
（2）先求出極值點(diǎn)，f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值，求出極小值，使函數(shù)f（x）的極小值大于零建立不等關(guān)系，求出參數(shù)θ的取值范圍即可．
（3）由（II）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與(

cosθ

2

，+∞)內(nèi)都是增函數(shù)，只需（2a-1，a）是區(qū)間（-∞，0）與(

cosθ

2

，+∞)的子集即可．

解答：解：（I）解：當(dāng)cosθ=0時(shí)f(x)=4x3+

1

32

，則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
故無(wú)極值．
（II）解：f'（x）=12x²-6xcosθ，令f'（x）=0，
得x1=0，x2=

cosθ

2

．
由0≤θ≤

π

2

及（I），只需考慮cosθ＞0的情況．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的符號(hào)及f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， cosθ 2 ）	cosθ 2	（ cosθ 2 ，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

因此，函數(shù)f（x）在x=

cosθ

2

處取得極小值f(

cosθ

2

)，且f(

cosθ

2

)=-

1

4

cos3θ+

1

32

．
要使f(

cosθ

2

)＞0，必有-

1

4

cos3θ+

1

32

＞0，
可得0＜cosθ＜

1

2

，所以

π

3

＜θ＜

π

2

（III）解：由（II）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與(

cosθ

2

，+∞)內(nèi)都是增函數(shù)．
由題設(shè)，函數(shù)f（x）在（2a-1，a）內(nèi)是增函數(shù)，
則a須滿(mǎn)足不等式組

2a-1＜a a≤0

或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 cosθ

由（II），參數(shù)θ∈(

π

3

，

π

2

)時(shí)，0＜cosθ＜

1

2

．要使不等式2a-1≥

1

2

cosθ關(guān)于參數(shù)θ恒成立，必有2a-1≥

1

4

．
綜上，解得a≤0或

5

8

≤a＜1．
所以a的取值范圍是(-∞，0]∪[

5

8

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力．