Question

某校選拔若干名學(xué)生組建數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)隊(duì)，要求選拔過程分前后兩次進(jìn)行，當(dāng)?shù)谝淮芜x拔合格后方可進(jìn)入第二次選拔，兩次選拔過程相互獨(dú)立．根據(jù)甲、乙、丙三人現(xiàn)有的水平，第一次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.5，0.6，0.4．第二次選拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.6，0.5，0.5．
（1）求第一次選拔后甲、乙兩人中只有甲合格的概率；
（2）分別求出甲、乙、丙三人經(jīng)過前后兩次選拔后合格的概率；
（3）設(shè)甲、乙、丙經(jīng)過前后兩次選拔后合格的人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列及Eξ．

Answer 1

分析：（1）分別設(shè)甲、乙經(jīng)第一次選拔后合格為事件A₁、B₁；設(shè)E表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，由P(E)=P(A1•

.

B1

)，能求出第一次選拔后甲、乙兩人中只有甲合格的概率．
（2）分別設(shè)甲、乙、丙三人經(jīng)過前后兩次選拔后合格入選為事件A、B、C，由此能夠分別求出甲、乙、丙三人經(jīng)過前后兩次選拔后合格的概率．
（3）經(jīng)過前后兩次選拔后合格入選的人數(shù)為ξ，則ξ=0、1、2、3．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和Pξ=2），由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．

解答：解：（1）分別設(shè)甲、乙經(jīng)第一次選拔后合格為事件A₁、B₁；
設(shè)E表示第一次選拔后甲合格、乙不合格，
則P(E)=P(A1•

.

B1

)=0.5×0.4=0.2．
（2）分別設(shè)甲、乙、丙三人經(jīng)過前后兩次選拔后合格入選為事件A、B、C，
則P（A）=0.5×0.6=0.3，P（B）=0.6×0.5=0.3，P（C）=0.4×0.5=0.2．
（3）經(jīng)過前后兩次選拔后合格入選的人數(shù)為ξ，則ξ=0、1、2、3．
則P（ξ=0）=0.7×0.7×0.8=0.392，
P（ξ=1）=0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+0.7×0.7×0.2=0.434，
P（ξ=3）=0.3×0.3×0.2=0.018
P（ξ=2）=1-（0.392+0.434+0.018）=0.156
（或者P（ξ=2）=0.3×0.3×0.8+0.7×0.3×0.2+0.3×0.7×0.2=0.156）．
∴ξ的概率分布列為

ξ	0	1	2	3
P	0.392	0.434	0.156	0.018

∴Eξ=0×0.392+1×0.434+2×0.156+3×0.018=0.8=

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查概率的計(jì)算和離散型隨機(jī)變量的概率分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．