Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx為奇函數(shù)，且在x=-1時取得極大值．
（I）求b，c；
（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（III）解不等式|f（x）|≤2．

Answer 1

解：（I）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx為奇函數(shù)，且在x=-1時取得極大值
∴f（-1）+f（1）=0，f′（1）=0
∴b=0，3+2b+c=0
∴b=0，c=-3；
（II）f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
令f′（x）＞0可得x＜-1或x＞1；令f′（x）＜0可得-1＜x＜1
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）；
（III）不等式|f（x）|≤2，等價于-2≤f（x）≤2
∴f（x）-2=x³-3x-2=（x+1）²（x-2）≤0，且f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2）≥0
∴-2≤x≤2
即不等式的解集為{x|-2≤x≤2}．
分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx為奇函數(shù)，且在x=-1時取得極大值，建立方程，可求b，c；
（II）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（III）不等式|f（x）|≤2，等價于-2≤f（x）≤2，由此可得不等式的解集．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．