Question

已知直線l：y=kx+1與拋物線y=x²交于A、B兩點，O是坐標原點．
（1）求證：OA⊥OB．
（2）若三角形AOB的面積為2，求直線l的方程．
（3）是否存在實數k，使A、B兩點關于直線對稱？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：直線l：y=kx+1與拋物線y=x²聯(lián)立，可得x²-kx-1=0
設A點坐標為（p，p²），B點坐標為（q，q²），則直線OA的斜率為=p，直線OB的斜率為=q
因為p，q是方程x²-kx-1=0得兩個解，根據韋達定理得p+q=k，pq=-1
所以OA⊥OB
（2）解：因為A，B在y=kx+1上，
所以A點坐標又可表示為（p，kp+1），B可表示為（q，kq+1），
∵|OA|²=p²+p⁴，|OB|²=q²+q⁴，
∴S_△AOB²=|OA|²•|OB|²=（p²+p⁴）（q²+q⁴）
∴p²q²+p²q²q²+p²p²q²+p⁴q⁴=16
將pq=-1代入得（-1）²+（-1）²q²+p²（-1）²+（-1）⁴=16
∴p²+q²=14
∴p²+q²+2pq=14+2pq
∴（p+q）²=12
∴k²=12，∴k=±2；
（3）解：若存在，則，∴q+p=-2，即k=-2．
∵AB的中點為（）
∴
∵q+p=-2，∴上式顯然不成立
故不存在實數k，使A、B兩點關于直線對稱．
分析：（1）直線l：y=kx+1與拋物線y=x²聯(lián)立，求出OA，OB的向量，利用韋達定理可得結論；
（2）設出A，B的坐標，表示出面積，將p+q=k pq=-1代入，即可得到結論；
（3）假設存在，利用對稱性，可得結論．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．