Question

今有一長(zhǎng)2米寬1米的矩形鐵皮，如圖，在四個(gè)角上分別截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x米的正方形后，沿虛線折起可做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體形水箱（接口連接問題不考慮）．
（Ⅰ）求水箱容積的表達(dá)式f（x），并指出函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若要使水箱容積不大于4x³立方米的同時(shí)，又使得底面積最大，求x的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知該長(zhǎng)方體形水箱高為x米，底面矩形長(zhǎng)為（2-2x）米，寬（1-2x）米．
∴該水箱容積為f（x）=（2-2x）（1-2x）x=4x³-6x²+2x．…（4分）
其中正數(shù)x滿足∴0＜x＜．
∴所求函數(shù)f（x）定義域?yàn)閧x|0＜x＜}．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）≤4x³，得x≤0或x≥，
∵定義域?yàn)閧x|0＜x＜}，∴≤x＜．…（8分）
此時(shí)的底面積為S（x）=（2-2x）（1-2x）=4x²-6x+2（x∈[，））．
由S（x）=4（x-）²-，…（10分）
可知S（x）在[，）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴x=．
即要使水箱容積不大于4x³立方米的同時(shí)，又使得底面積最大的x是．…（12分）
分析：（Ⅰ）確定長(zhǎng)方體形水箱高為x米，底面矩形長(zhǎng)為（2-2x）米，寬（1-2x）米，即可得到該水箱容積為f（x）=（2-2x）（1-2x）x=4x³-6x²+2x，根據(jù)長(zhǎng)、寬、高為正數(shù)，可確定所求函數(shù)f（x）定義域；
（Ⅱ）根據(jù)水箱容積不大于4x³立方米，構(gòu)建不等式，確定函數(shù)的定義域，再利用底面積為S（x）=（2-2x）（1-2x）=4x²-6x+2，結(jié)合定義域，可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，利用長(zhǎng)方體的體積公式，確定函數(shù)是關(guān)鍵．