Question

一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，如果圓錐的體積和半球的體積相等，則這個(gè)圓錐的母線與軸所成角正弦值為

 

．

Answer 1

分析：由題意，設(shè)底面半徑和母線與軸所成角為θ，表示出圓錐的高，圓錐的半徑為R，高為H．根據(jù)圓錐與球的體積公式，建立關(guān)于θ、R的等式，解出cotθ=2，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出sinθ的值，可得答案．

解答：解：設(shè)圓錐的半徑為R，高為H，母線與軸所成角為θ，
則圓錐的高H=R•cotθ
圓錐的體積，V₁=

1

3

πR2H=

1

3

πR3cotθ
∵半球的體積V₂=

1

2

×

4

3

πR3=

2

3

πR3，且V₁=V₂
∴

1

3

πR3cotθ=

2

3

πR3，解得cotθ=

cosθ

sinθ

=2，
結(jié)合sin²θ+cos²θ=1，解得sinθ=

5

5

．
故答案為：

5

5

點(diǎn)評：本題給出滿足條件圓錐與半球，求圓錐的母線與軸所成角正弦值，著重考查了圓錐與球的體積公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，屬于中檔題．