Question

16．設f（x）=ax-ln（1+x²），
（1）當a=$\frac{4}{5}$時，求f（x）在（0，+∞）的極值；
（2）證明：當x＞0時，ln（1+x²）＜x；
（3）證明：$（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{3^4}）…（1+\frac{1}{n^4}）＜e$（n∈N^*，n≥2，e為自然對數的底數）

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到極值點，利用導函數的符號判斷函數的單調性求解函數的極值．
（2）利用導函數的單調性推出不等式，得到結果即可．
（3）利用（2）的結論，利用放縮法以及裂項求和，推出結果即可．

解答 解：（1）當$a=\frac{4}{5}時，f（x）=\frac{4}{5}x-ln（1+{x^2}）$，∴${f^'}（x）=\frac{4}{5}-\frac{2x}{{1+{x^2}}}=\frac{{4{x^2}-10x+4}}{{5（1+{x^2}）}}$，
f′（x），f（x）變化如下表：

x	$（{0，\frac{1}{2}}）$	$\frac{1}{2}$	$（{\frac{1}{2}，2}）$	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴${f_{極大值}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}-ln\frac{5}{4}$，${f_{極小值}}=f（2）=\frac{8}{5}-ln5$，
（2）令g（x）=x-ln（1+x²），則${g^'}（x）=1-\frac{2x}{{1+{x^2}}}=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{{1+{x^2}}}≥0$，
∴g（x）在（0，+∞）上為增函數．
∴g（x）＞g（0）=0，∴l(xiāng)n（1+x²）＜x．
（3）由（2）知ln（1+x²）＜x，
令$x=\frac{1}{n^4}$得，$ln（1+\frac{1}{n^4}）＜\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，n≥2．
∴$ln（1+\frac{1}{2^4}）+ln（1+\frac{1}{3^4}）+…+ln（1+\frac{1}{n^4}）$$＜1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}＜1$，
則原不等式成立．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的最值以及函數的單調性的應用，放縮法以及裂項求和，考查轉化思想以及計算能力．