Question

已知雙曲線2x²-2y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為動(dòng)點(diǎn)，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）求cos∠F₁PF₂的最小值．

Answer 1

分析：（1）解出|F₁F₂|=2，由橢圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，依定義寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）在△F₁PF₂中，利用余弦定理將cos∠F₁PF₂用mn表示出來，根據(jù)其形式應(yīng)選擇用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）依題意雙曲線方程可化為

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，
則|F₁F₂|=2，
∴|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2．
∴點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，
其方程可設(shè)為

x2

a2

+

y2

b2

=1
（a＞b＞0）．
由2a=4，2c=2，
得a=2，c=1，
∴b²=4-1=3．則所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)|PF₁|=m＞0，
|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，
則由m+n=4，|F₁F₂|=2，
可知在△F₁PF₂中，
cosθ=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

6

mn

-1
∵m+n=4≥2

mn

∴mn≤4
∴cosθ≥

6

4

-1=

1

2

cos∠F₁PF₂的最小值是

1

2

點(diǎn)評：（1）考查橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）考查余弦定理與基本不等式求最值．是圓錐曲線與解三角形基本不等式知識的一個(gè)綜合題，知識覆蓋面較廣．