Question

已知函數(shù)f(x)=alnx+

1

2

x2-(1+a)x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意的x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，對(duì) a分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在x=1處取得最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=

(x-a)(x-1)

x

（x＞0）
（1）a≤0時(shí)，令f′（x）＜0，可得x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1，∵x＞0，∴x＞1
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）0＜a＜1時(shí)，令f′（x）＜0，可得a＜x＜1，∵x＞0，∴a＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＜a或x＞1，∵x＞0，∴0＜x＜a或x＞1
∴函數(shù)f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減；
（3）a=1時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（4）a＞1時(shí)，令f′（x）＜0，可得1＜x＜a，∵x＞0，∴1＜x＜a；令f′（x）＞0，可得x＞a或x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1或x＞a
∴函數(shù)f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）a≥0時(shí)，f（1）=-

1

2

-a＜0，舍去；
a＜0時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在x=1處取得最小值，
∵函數(shù)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意的x恒成立，
∴f（1）=-

1

2

-a≥0，可得a≤-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．