Question

如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CC₁=2CB，則直線BC₁與直線AB₁夾角的余弦值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：根據(jù)題意可設(shè)CB=1，CA=CC₁=2，分別以CA、CC₁、CB為x軸、y軸和z軸建立如圖坐標系，得到A、B、B₁、C₁四個點的坐標，從而得到向量與的坐標，根據(jù)異面直線所成的角的定義，結(jié)合空間兩個向量數(shù)量積的坐標公式，可以算出直線BC₁與直線AB₁夾角的余弦值．
解答：分別以CA、CC₁、CB為x軸、y軸和z軸建立如圖坐標系，
∵CA=CC₁=2CB，∴可設(shè)CB=1，CA=CC₁=2
∴A（2，0，0），B（0，0，1），B₁（0，2，1），C₁（0，2，0）
∴=（0，2，-1），=（-2，2，1）
可得•=0×（-2）+2×2+（-1）×1=-3，且=，=3，
向量與所成的角（或其補角）就是直線BC₁與直線AB₁夾角，
設(shè)直線BC₁與直線AB₁夾角為θ，則cosθ==
故選A
點評：本題給出一個特殊的直三棱柱，求位于兩個側(cè)面的面對角線所成角的余弦之值，著重考查了空間向量的坐標運算和異面直線及其所成的角的概論，屬于基礎(chǔ)題．