Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點P在橢圓上，且滿足|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，直線y=kx+m與圓x2+y2=

6

5

相切，與橢圓相交于A，B兩點．
（I）求橢圓的方程；
（II）證明∠AOB為定值（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（I）由題意，|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2，解三角形得|PF1|=2|PF2|=

4 3

3

，由此能夠?qū)С鰴E圓的方程．
（II）設(shè)交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+m x2 3 + y2 2 =1

，消去得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，由韋達定理得x1+x2=

-6km

2+3k2

，x1•x2=

3m2-6

2+3k2

，又直線y=kx+m與圓x2+y2=

6

5

相切，則有

|m|

1+k2

=

6 5

⇒5m2=6+6k2，由此能夠求出∠AOB=90°為定值．

解答：解：（I）由題意，|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2，
解三角形得|PF1|=2|PF2|=

4 3

3

，由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=2

3

，
從而a=

3

，又c=1，則b=

2

，所以橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1（6分）
（II）設(shè)交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+m x2 3 + y2 2 =1

消去得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0
由韋達定理得x1+x2=

-6km

2+3k2

，x1•x2=

3m2-6

2+3k2

（9分）
又直線y=kx+m與圓x2+y2=

6

5

相切，∴圓心到直線的距離=R，
∴有

|m|

1+k2

=

6 5

⇒5m2=6+6k2（11分）
從而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=(k2+1)

3m2-6

2+3k2

+km

-6km

2+3k2

+m2=

m2(5m2-6k2-6)

2+3k2

=0（12分）•
所以

OA

•

OB

=0，即∠AOB=90°為定值．（13分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．