Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)M(m,-3)到焦點(diǎn)的距離為5,求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程.

Answer 1

分析:因頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸,點(diǎn)M(m,-3)位于第三或第四象限,故可確定所求拋物線方程為x²=-2py(p＞0).

解法一:設(shè)所求拋物線方程為x²=-2py(p＞0),

則焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,-).

∵M(m,-3)在拋物線上,且|MF|=5,

故

解得

∴拋物線方程為x²=-8y,m=±26,準(zhǔn)線方程為y=2.

解法二:

如圖所示,設(shè)拋物線方程為x²=-2py(p＞0),則焦點(diǎn)F(0,-),準(zhǔn)線l:y=,又|MF|=5,

由定義知3+=5,

∴p=4.

∴拋物線方程為x²=-8y,準(zhǔn)線方程為y=2.

由m²=(-8)×(-3),得m=±2.

綠色通道：

解法一應(yīng)用了“待定系數(shù)法”,解法二是對(duì)拋物線定義的靈活應(yīng)用.