Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²+x+1），a∈R；
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在[0，1]上的最大值為

3e

2

，求a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=e^x（x+2）（ax+1）=0，解得x=-1或x=-

1

a

．由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)性．
（2）利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的值．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（x+2）（ax+1）=0，
解得x=-1或x=-

1

a

．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-2＜x＜-

1

a

，（-2，-

1

a

）是增區(qū)間；
由f′（x）＜0，得x＜-2或x＞-

1

a

，（-∞-2），（-

1

a

，+∞）是減區(qū)間；
若a=0，由f′（x）＞0，得x＞-2，（-2，∞）是增區(qū)間；
由f′（x）＜0，得x＜-2，（-∞-2）是減區(qū)間；
若0＜a＜

1

2

，由f′（x）＞0，得x＜-

1

a

或x＞-2，（-∞，-

1

a

），（-2，+∞）是增區(qū)間；
由f′（x）＜0，得-

1

a

＜x＜-2，（-

1

a

，-2）是減區(qū)間；
若a=

1

2

，則f′（x）＞0，（-∞，+∞）是增區(qū)間．
若a＞

1

2

，由f′（x）＞0，得x＜-2，或x＞-

1

a

，（-∞，-2），（-

1

a

，+∞）是增區(qū)間；
由f′（x）＜0，得-2＜x＜-

1

a

，（-2，-

1

a

）是減區(qū)間．
（2）若-

1

a

＜0⇒a＞0，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
f(x)max=f(1)=e(a+2)=

3

2

e⇒a=-

1

2

，舍去；
若0＜-

1

a

＜1⇒a＜-1，f（x）在（0，-

1

a

）單調(diào)遞增，在（-

1

a

，1）單調(diào)遞減，f(x)max=f(-

1

a

)=e-

1

a

＜e1舍去；
若-

1

a

＞1⇒-1＜a＜0，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
f(x)max=f(1)=e(a+2)=

3

2

e⇒a=-

1

2

若a=0，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，f（x）_max=f（1）=2e，舍去
若a=-1，f（x）在（0，1）單調(diào)遞，f（x）_max=f（1）=e，舍去
綜上所述a=-

1

2

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查實數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．