Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x²-2x+2，若對(duì)任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)的值代入f（x）中，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線(xiàn)的斜率，可得曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分a大于等于0和a小于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）對(duì)任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），等價(jià)于f（x）_max＜g（x）_max，分別求出相應(yīng)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知f′(x)=2+

1

x

(x＞0)，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，
又切點(diǎn)（1，2），所以切線(xiàn)方程為y-2=3（x-1）），即3x-y-1=0
故曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處切線(xiàn)的切線(xiàn)方程為3x-y-1=0．-----------------（4分）
（Ⅱ）f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．------（6分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0，得x=-

1

a

．
在區(qū)間(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0，在區(qū)間(-

1

a

，+∞)上，f'（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，-

1

a

)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1

a

，+∞)．--------（8分）
（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max．g（x）=（x-1）²+1，x∈[0，1]，所以g（x）_max=2
由（Ⅱ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意．
（或者舉出反例：存在f（e³）=ae³+3＞2，故不符合題意．）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在(0，-

1

a

)上單調(diào)遞增，在(-

1

a

，+∞)上單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-1-ln(-a)，
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜-

1

e3

．-----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上過(guò)某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握不等式恒成立時(shí)所滿(mǎn)足的條件，是一道中檔題．