Question

己知四棱錐P-ABCD，其中底面ABCD為矩形側(cè)棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2，AB=2PA=6，M，N為側(cè)棱PC上的兩個三等分點，如圖所示：
（Ⅰ）求證：AN∥平面MBD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，利用直線與平面平行的判定定理證明：AN∥平面MBD；
（Ⅱ）設(shè)平面BCP的法向量為

m

=(x，y，z)，利用向量的垂直關(guān)系，求出法向量，同樣求出平面PAC法向量

n

=(x1，y1，z1)，利用空間向量的數(shù)量積，直接求解二面角B-PC-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，
∵底面ABCD為矩形，∴O為AC中點，∵M(jìn)、N為側(cè)棱PC的三等份點，∴MN=CM，
∴OM∥AN，∵OM?平面MBD，AN?平面MBD，∴AN∥平面MBD  （4分）．
（Ⅱ）易知△ABP為等腰直角三角形，所以BP為外接圓的直徑，所以PB=3

2

，PA=3
如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，6，0），D（0，6，0），P（0，0，3），M（2，4，1），N（1，2，2），
設(shè)平面BCP的法向量為

m

=(x，y，z)，∵

BP

=(-3，0，3)，

BC

=(0，6，0)，
并且m⊥

BP

，m⊥

BC

，∴

-3x+3z=0 6y=0

，令x=1，得y=0，z=1，
∴平面MBD的一個法向量為

m

=(1，0，1)，（6分）
設(shè)平面PAC法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
同理可得

n

=(2，-1，0)（8分）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m || n |

=

2

2 5

=

10

5

（10分）
由圖可知，二面角B-PC-A為銳角，
∴二面角B-PC-A的余弦值為

10

5

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．