(本題12分)

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2, 側(cè)棱長是, D為AC的中點(diǎn).

(1)求證: B1C∥平面A1BD

(2)求二面角A1-BD-A的大小.

(3)求直線AB1與平面A1BD所成角的大小.

(2) 60°    (3) ∠AOH=arcsin


解析:

法1: 如圖所示(1)設(shè)A1B與AB1交于O點(diǎn), 在△AB1C中, OD為其中位線,

∴OD∥B1C, ODÌ平面A1BD, B1CÌ平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD

(2) ∵D是AC的中點(diǎn), △ABC為正三角形, ∴BD⊥AC, 三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱, ∴ A1A⊥BD, ∴BD⊥平面A1AD, ∴BD⊥A1D, BD⊥AD, ∴∠A1DA為二面角A1-BD-A的平面角, A1A=, AD=1, tan∠A1DA= = , ∴∠A1DA= 60°. ∴二面角A1-BD-A的平面角為60°.

(3)∵ BD⊥平面A1AD, BDÌ平面A1BD, ∴平面A1AD⊥平面A1BD, 過A作AH⊥A1D于H點(diǎn),∴AH⊥平面A1BD, ∴∠AOH為直線AB1與平面A1BD所成角, 在Rt△A1AD中AH== = , AO= sin∠AOH= = = , ∠AOH=arcsin.

法2: (空間向量法)建坐標(biāo)系如圖, 則

A(1,0,0), D(0,0,0), B(0,, 0), A1(1, 0, ) B1(0, , ) , C(-1,0,0)

(1) =(1, 0, ), =(0,, 0),  =(1, , ) , ∴ =+ , ∴、、共面, 又∵CB1Ì平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD

(2) 平面ABD的法向量設(shè)為=(0,0,1), 平面A1BD的法向量為=(x,y,z),

 ∵ ,

, y=0, 令z=1, 則x=-, ∴=(-,0,1) ,

=

∴ 二面角A1-BD-A的大小的60°.

(3) 直線AB1與平面A1BD所成角θ, 則=(-1, , ),平面A1BD的法向量為=(-,0,1) , sinθ= = = , ∴ θ=arcsin.

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(本題12分)如圖,在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,

AD⊥AB,AB=。AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點(diǎn),F(xiàn)是平面B1C1E

與直線AA1的交點(diǎn)。

(1)證明:(i)EF∥A1D1;

(ii)BA1⊥平面B1C1EF;

(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值。

 

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(本題12分)如圖所示,在直四棱柱中, ,點(diǎn)是棱上一點(diǎn).

(1)求證:;

(2)求證:

 

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((本題12分)如圖所示,在直四棱柱中, ,點(diǎn)是棱上一點(diǎn)

(1)求證:;

(2)求證:

 

 

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(Ⅰ)求證:BC⊥平面ACD;

(Ⅱ)求二面角ACDM的余弦值.

 

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((本題12分)如圖2,在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)E、F、G分別是DD1、BD、BB1的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求直線EF與直線CG所成角的余弦值;

 (Ⅱ)求直線C1C與平面GFC所成角的正弦值;

     (Ⅲ)求二面角E—FC—B的余弦值。

 

 

 

 

 

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