Question

已知數(shù)列{a_n}  和 {b_n}中，a₁=t（t＞0），a₂=t²．當(dāng)x=

t

時，函數(shù)f（x）=

1

3

(an-1-an)x3-（a_n-a_n+1）x（n≥2）取得極值．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項公式．
（2）若點P_n（1，b_n）．過函數(shù)g（x）=ln（1+x²）圖象上的點（a_n，g（a_n））的切線始終與OP_n平行（O是坐標(biāo)原點）．求證：當(dāng)

1

2

＜t＜2時，不等式

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2n-2

-n

2

對任意n∈N^*都成立．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)極值的定義，探求數(shù)列{a_n} 相鄰兩項之間的關(guān)系，進(jìn)行變形，整理，確定出相關(guān)數(shù)列為特殊數(shù)列，從而達(dá)到求解的目的；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出b_n，利用放縮法將

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

轉(zhuǎn)化，使之進(jìn)一步作為橋梁溝通與2n-2

-n

2

的聯(lián)系．

解答：解：（1）f′（x）=（a_n-1-a_n）x²-（a_n-a_n+1）
當(dāng)x=

t

時，函數(shù)f（x）取得極值，則f′（

t

）=0，
代入整理得，a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）  （n≥2）
又t＞0，∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為 a₂-a₁=t²-t，公比為t的等比數(shù)列．
∴a_n+1-a_n=（t²-t）•t^n-1=tⁿ⁺¹-tⁿ
當(dāng)n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（tⁿ-t^n-1）+（t^n-1-t^n-2）+…+（t²-t¹）+t=tⁿ
當(dāng)t=1時符合，∴數(shù)列{a_n} 的通項公式a_n=tⁿ．
（2）g′（x）=[ln（1+x²）]′=

2x

1+x2

過函數(shù)g（x）圖象上的點（a_n，g（a_n））的切線的斜率k₁=g′（a_n）=

2an

1+an2

=b_n．
∴

1

bn

=

1

2

(tn+

1

tn

)
因為

1

2

＜t＜2，所以（2t）ⁿ＞1，tⁿ＜2ⁿ．
則（2ⁿ+2^-n）-（tⁿ+t^-n）=

1

(2t)n

（2ⁿ-tⁿ）[（2t）ⁿ-1]＞0，
有

1

bn

＜

1

2

（2ⁿ+2^-n），
故

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

1

2

[（2+

1

2

）+（2²+

1

22

）+…+（2ⁿ+

1

2n

）]=2ⁿ-

1

2

（1+

1

2n

），
∵1+

1

2n

＞2

1 2n

∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2ⁿ-

1 2n

=2ⁿ-2-

n

2

即證．

點評：本題是函數(shù)、數(shù)列，不等式的綜合．本題主要運用了函數(shù)的極值，均值不等式，等比數(shù)列的通項公式，累和法數(shù)列求和．是基礎(chǔ)知識、基本方法的綜合考查．要求具有一定的分析解決問題，計算，化簡的能力．