Question

8．已知橢圓E的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，對(duì)稱中心為原點(diǎn)，直線l：x-2y+2=0過橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)F₁和一個(gè)頂點(diǎn)B，則橢圓E的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$或$\frac{2}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由直線l：x-2y+2=0，分別令y=0與x=0，可得橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)F₁（-2，0），一個(gè)頂點(diǎn)B（0，1），即可得出離心率，同理設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），即可得出．

解答 解：①設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由直線l：x-2y+2=0，分別令y=0與x=0，可得橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)F₁（-2，0），一個(gè)頂點(diǎn)B（0，1），
∴c=2，b=1，∴a²=b²+c²=5．
∴橢圓E的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
②設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），可得橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，1），一個(gè)頂點(diǎn)B（-2，0），
∴c=1，b=2，∴a²=b²+c²=5．
∴橢圓E的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與坐標(biāo)軸相交、分類討論，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．