Question

設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=2-S_n；數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=9，a₇=13．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求{b_n}通項公式；
（2）若c_n=b_na_n（n=1，2，3，…），T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）證明：由b_n=2-S_n可求b₁，當n≥2時，由b_n=2-S_n可得：b_n-1=2-S_n-1，兩式相減可得b_n與b_n-1之間的遞推關(guān)系，即可證明，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求
（2）由數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=9，a₇=13可求公差d，進而可求通項，代入c_n=b_na_n，結(jié)合數(shù)列的項的特點考慮利用錯位相減求和

解答：（1）證明：由b_n=2-S_n可得b₁=2-S₁，
∴b₁=1
當n≥2時，由b_n=2-S_n可得：b_n-1=2-S_n-1可，
兩式相減可得，b_n-b_n-1=-（s_n-s_n-1）=-b_n
∴bn=

1

2

bn-1
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列
由等比數(shù)列的通項公式可得，bn=

1

2n-1

（2）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=9，a₇=13．
∴d=

a7-a5

2

=2
∴a_n=a₅+（n-5）d=9+2（n-5）=2n-1
從而c_n=b_na_n=

2n-1

2n-1

∴Tn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

兩式相減可得，

1

2

Tn=1+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=1+2•

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

3n+3

2n

∴Tn=6-

2n+3

2n-1

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造證明等比數(shù)列，等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式的應用及錯位相減求和方法的應用，具有一定的綜合性