Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以AB弦為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，試探討點(diǎn)O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率為

6

3

，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

3

，建立方程組，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論，再設(shè)直線方程代入題意方程，利用韋達(dá)定理，及以AB弦為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意

c a = 6 3 a= 3

∴b=1，…．（2分）
∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1．…..（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，設(shè)AB方程為：x=m，此時(shí)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，又以|AB|為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，
設(shè)A（m，m）代人橢圓方程得：m=

3

2

…．（6分）
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．聯(lián)立

x2 3 +y2=1 y=kx+m

，
整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．…．（8分）
又y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

3k2(m2-1)

1+3k2

+

-6k2m2

1+3k2

+m2=

m2-3k2

1+3k2

．
由以|AB|為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則有

OA

•

OB

=0．…..（10分）
即：x₁x₂+y₁y₂=0，故滿足：

3(m2-1)

1+3k2

+

m2-3k2

1+3k2

=0得：4m²=3+3k²，所以m²=

3

4

(k2+1)．
又點(diǎn)O到直線AB的距離為：d=

|m|

1+k2

=

3 2 1+k2

1+k2

=

3

2

．
綜上所述：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

3

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．