Question

已知點F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F₂（1，0）的距離的最大值為

2

+1．
（1）求橢圓C的方程．
（2）點M的坐標(biāo)為（

5

4

，0），過點F₂且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．對于任意的k∈R，

MA

•

MB

是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可得c=1且a=

2

，再用平方關(guān)系算出b²=1，從而得到橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線交橢圓C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線l的方程y=k（x-1）與橢圓C聯(lián)解消去y，得關(guān)于x的方程，再運用根與系數(shù)關(guān)系算出x₁+x₂、x₁x₂關(guān)于k的式子，最后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式將

MA

•

MB

化簡整理，即可得到對于任意的k∈R，

MA

•

MB

=-

7

16

（定值）．

解答：解：（1）由題意，可知：c=1且a+c=

2

+1，
∴a=

2

，可得b²=a²-c²=1
因此，橢圓C的方程為：

x2

2

+y²=1
（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1）
直線交橢圓C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

∵M（

5

4

，0），可得

MA

=(x1-

5

4

，y1)，

MB

=(x2-

5

4

，y2)
∴

MA

•

MB

=（x₁-

5

4

）（x₂-

5

4

）+y₁y₂=-

5

4

（x₁+x₂）+x₁x₂+

25

16

+y₁y₂，
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴

MA

•

MB

=-

5

4

（x₁+x₂）+x₁x₂+

25

16

+y₁y₂
=-

5

4

（x₁+x₂）+x₁x₂+

25

16

+k²（x₁-1）（x₂-1）
=-

5

4

•

4k2

1+2k2

+

2k2-2

1+2k2

+

25

16

+k²（

2k2-2

1+2k2

-

4k2

1+2k2

+1）=-

7

16

∴對于任意的k∈R，

MA

•

MB

=-

7

16

（定值）．

點評：本題給出橢圓方程，求解過焦點的直線與橢圓相交所得向量數(shù)量積的問題，著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．