Question

9．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，四邊形ABCD的各頂點均在橢圓E上，且對角線AC，BD均過坐標(biāo)原點O，點D（2，1），AC，BD的斜率之積為$-\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過D作直線l平行于AC．若直線l′平行于BD，且與橢圓E交于不同的兩點M．N，與直線l交于點P．
（1）證明：直線l與橢圓E有且只有一個公共點；
（2）證明：存在常數(shù)λ，使得|PD|²=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（1）由題意${k}_{AC}•{k}_{BD}=-\frac{1}{4}$，求得${k}_{AC}=-\frac{1}{2}$，寫出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式△=0可得直線l與橢圓E有且只有一個公共點；
（2）設(shè)直線l′的方程為y=$\frac{1}{2}x+m$（m≠0），聯(lián)立兩直線方程，求得點P坐標(biāo)為（2-m，$1+\frac{m}{2}$），得到$|PD{|}^{2}=\frac{5{m}^{2}}{4}$．聯(lián)立直線l′與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出|PM|，|PN|．可得|PM||PN|=$\frac{5{m}^{2}}{4}$．結(jié)合|PD|²=λ|PM|•|PN|求得λ=1．可得存在常數(shù)λ，使得|PD|²=λ|PM|•|PN|．

解答 解：（Ⅰ）由題意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{^{2}=2}\\{{c}^{2}=6}\end{array}\right.$．
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
證明：（Ⅱ）（1）由題意${k}_{AC}•{k}_{BD}=-\frac{1}{4}$，
∵${k}_{BD}={k}_{OD}=\frac{1}{2}$，得${k}_{AC}=-\frac{1}{2}$，
則直線l的方程為$y=-\frac{1}{2}x+2$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化簡得x²-4x+4=0．
∵判別式△=0，∴直線l與橢圓E有且只有一個公共點；
（2）設(shè)直線l′的方程為y=$\frac{1}{2}x+m$（m≠0）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2-m}\\{y=1+\frac{m}{2}}\end{array}\right.$．
故點P坐標(biāo)為（2-m，$1+\frac{m}{2}$），$|PD{|}^{2}=\frac{5{m}^{2}}{4}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化簡得x²+2mx+2m²-4=0．
設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
判別式△=4（-m²+4）＞0，得-2＜m＜2．
又${x}_{1}+{x}_{2}=-2m，{x}_{1}{x}_{2}=2{m}^{2}-4$．
∴|PM|=$\sqrt{（2-m-{x}_{1}）^{2}+（1+\frac{m}{2}-{y}_{1}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}|2-m-{x}_{1}|$．
同理，$|PN|=\frac{\sqrt{5}}{2}|2-m-{x}_{2}|$．
故|PM||PN|=$\frac{5}{4}|2-m-{x}_{1}||2-m-{x}_{2}|$=$\frac{5}{4}|（2-m）^{2}-（2-m）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}|$=$\frac{5{m}^{2}}{4}$．
∵|PD|²=λ|PM|•|PN|，解得λ=1．
故存在常數(shù)λ為1，使得|PD|²=λ|PM|•|PN|．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．